NMMS-SCHOLARSHIP-चलन -Variation -Direct Variation

 ध्येयासाठी प्रयत्न करण्यात समाधान असते. ध्येय  गाठण्यात नव्हे. 

चलन (Variation) 

इयत्ता आठवी प्रकरण 7 चलन |variation |chlan |मध्ये एक राशी दुसऱ्या राशीवर अवलंबून कशाप्रकारे असते याचा अभ्यास केला जातो.समचलन (Direct Variation ) व व्यस्त चलन (Indirect Variation ) असे दोन प्रमुख प्रकार आहेत.समचलनाबद्दल माहिती घेऊ.

समचलन  / समप्रमाण (Direct Variation):

जेव्हा x हे चल y या चलावर अशा रीतीने अवलंबून असते की x/y = k (k स्थिरपद ), तेव्हा x आणि y समप्रमाणात /समचलनात  आहेत  असे  म्हणतात. 

  x आणि y या  राशी समप्रमाणात / समचलनात असताना : 

1) जर x च्या  किंमतीमध्ये वाढ झाली तर y च्या  किंमतीत त्याच  प्रमाणात  वाढ होते. 

2) जर x च्या  किंमतीमध्ये घट  झाली तर y च्या  किंमतीत त्याच  प्रमाणात  घट  होते. 

महत्वाचे  मुद्दे :

1) x आणि y यांच्यामध्ये  सम चलन आहे  हे    चिन्हात   x ∝ y असे लिहितात. 

 चलनाचे  विधान :    x ∝ y

2) x ∝ y हे समीकरणाच्या  रूपात  x =k y  किंवा  x/y=  k असे  लिहितात. येथे k हे  स्थिरपद आहे.

3)  जर  x ∝ y तर  x/y=  k असते. 

     जर   x/y=  k  तर x ∝ y असते.

4)  चलनाचे  समीकरण :  x/y =  k किंवा x = k y

    k हा  चलनाचा  स्थिरांक  आहे. 

5) समचलनात  संगतमूल्यांचे गुणोत्तर स्थिर  असते. 

x1/y1  =  x2/y2  =  k  (k स्थिरपद) 

6) सम  चलन  असणारी  काही उदाहरणे: 

1) वस्तूंची  किंमत ( p) व वस्तूंची  संख्या (n)  यांमध्ये  समचलन असते. 

चलनाचे  विधान :    p ∝ n

चलनाचे  समीकरण :  p/n =  k    (k स्थिरपद)

2) वर्तुळाचा  परीघ ( c )  व  वर्तुळाची  त्रिज्या ( r ) यांमध्ये  समचलन  असते. 

वर्तुळाचा परीघ ( c ) त्रिज्येशी ( r ) समप्रमाणात असतो.  

चलनाचे  विधान :    c ∝ r

चलनाचे  समीकरण :  c/r =  k    (k स्थिरपद)

3) वर्तुळाचे  क्षेत्रफळ (A) त्याच्या त्रिज्येच्या वर्गाशी (r²) समप्रमाणात असते.  

चलनाचे  विधान :    A ∝ r²

चलनाचे  समीकरण :  A/r²=  k    (k स्थिरपद)

 चलन घटकावरील उदाहरणे सोडविण्यासाठी कृती :

1)उदाहरणातील माहितीनुसार प्रथम चलनाचे  विधान लिहा.चलनाचे विधान दिलेले नसल्यास सारणीतील संगतमूल्यांचे गुणोत्तर स्थिर येत  असेल तर समचलनाचे विधान लिहा. 

2)चलनाच्या विधानावरून समीकरण लिहा. 

3) x व  y च्या  संगत मूल्यांवरून (किमतींवरून ) चलनाचा स्थिरांक (k) काढा. 

4) चलनाच्या स्थिरांकाची (k ची) किंमत समीकरणात लिहून चलनाचे  समीकरण लिहा. 

5) चलनाच्या समीकरणात दिलेली एकाचलाची (राशीची ) किंमत ठेवा व दुसऱ्या चलाची (राशीची ) किंमत काढा. 

परीक्षेसाठी  उदाहरणे :

1] तांदळाची  किंमत (p) त्याच्या वजनाच्या (w) समचलनात असते. हे विधान चलनाचे चिन्ह  वापरून कसे लिहिता येईल? 

1) p ∝ 1/w                          2) p ×w = k     

3) p/w = k                          4) p  ∝  w

उत्तर  :  (4)

2]  पुढील सारणीवरून x ची किंमत काढा. 

                           1) 1/5        2) 11         3) 5         4) 72

उत्तर  :  (2)

सारणीतील  निरीक्षणावरून 

       a/b    =    12/60  = 1/5

       

       a/b    =     15/75   =  1/5

       

       a/b    =    22/110  =  1/5

        a/b   =    1/5 

     a   =   x,   b  =  55  ठेवू 

      x / 55  =  1/5

      x         =   1/5   ×  55

      x         =   11

दुसरी  पद्धत :

1) चलनाचे  विधान  दिलेले  नाही. सारणीतील  संगत  मूल्यांचे  गुणोत्तर काढू. 

a/b          =  12/60  =  1/5

                =  15/75  =  1/5

                =  22 /110  = 1/5

सारणीतील  संगत  मूल्यांचे  गुणोत्तर स्थिर  येते.             

                a/b =  k

              ∴  a  ∝ b

2)      a/ b   =   k

3)     12/60  =  k

           1 / 5  = k  

     चलनाचा  स्थिरांक (k)  =  1/5

4)   a/b   =  1/5  ...... चलनाचे  समीकरण  

5)     जेव्हा  b=  55  तेव्हा   a=? 

         a/b   =  1/5  ...... चलनाचे  समीकरण  

       a/55   =  1/5 

          a     =  1/5   ×  55

            a    =  11

3]  x आणि  y  या राशी समप्रमाणात आहेत. जर  x च्या किंमतीमध्ये वाढ झाली, तर  y च्या  किंमतीत किती  फरक  पडेल?  (2009-10)

1) त्याच  प्रमाणात  घट  होईल. 

2) फरक  पडणार  नाही. 

3) त्याच  प्रमाणात  वाढ   होईल. 

4) दुप्पट वाढ   होईल.

उत्तर  :  (3)

x आणि y या  राशी समप्रमाणात / समचलनात असताना : 

1) जर x च्या  किंमतीमध्ये वाढ झाली तर y च्या  किंमतीत त्याच  प्रमाणात  वाढ होते. 

4] जर  m ∝ n  आणि  m=132 असताना  n = 6  तर  n  =12 असताना  m ची  किंमत  किती? 

1)  264        2) 66    3) 528        4) 33

    

उत्तर  :  (1)

         m ∝ n ...............    चलनाचे  विधान 

         m/n  =   k      (k स्थिरपद)    ........   समीकरण 

          m  =  132,           n  =  6 ठेवू 

         132/6   =   k

         22       =    k

          

         m/n    =    22     (  k=  22)

                n  = 12  ठेवू 

        m/12   =    22  

         m       =   22 ×  12          

         m     =     264

5]आंब्यांच्या खोक्यांची संख्या प्रत्येक  खोक्यातील समान आंब्यांच्या संख्येच्या प्रमाणात असते. 1000आंबे भरण्यासाठी 20 खोके लागतात तर 45 खोके  भरण्यासाठी किती  आंबे  लागतील? 

1) 2500    2) 2000     3)2250    4)4250

उत्तर  : (3)

समजा आंब्यांच्या खोक्यांची संख्या x व प्रत्येक  खोक्यातील  समान आंब्यांची  संख्या y आहे. 

आंब्यांच्या खोक्यांची संख्या प्रत्येक खोक्यातील 

समान आंब्यांच्या संख्येच्या प्रमाणात असते. 

 

       ∴    x  ∝  y...............    चलनाचे  विधान 

       x  /y   =  k      (k स्थिरपद)    ........   समीकरण 

          

1000 आंबे भरण्यासाठी 20 खोके लागतात

          x = 20,   y = 1000  ठेवू 

           20/1000  =  k

               1 /50   =  k

                x  /y   =  1 /50..... चलनाचे  समीकरण  

             जेव्हा  x  = 45  तेव्हा   y =? 

                x / y   =  1 /50

               45 / y  =  1 /50

            45 × 50  =  y × 1    .....जर a/b  = c/d  तर  ac  =  bd

                2250  =  y                         

                       y  =  2250

......................................................................................................................................

खालील  उदाहरणाचे  उत्तर  टिप्पणी  मध्ये  एंटर   करा.  उत्तराचा  क्रमांक लिहा.

 चलनाचे  चिन्ह  वापरून  लिहा. 

y हे x च्या वर्गमूळाच्या समचलनात बदलते.  

1) y ∝ x                      2) y ∝ x²  

 

3) x ∝ √y                   4) y ∝ √x

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

                   आजचा प्रश्न                                

E = mc² हे समीकरण कोणी मांडले?

उत्तर 👇

           General Knowledge - आजचा प्रश्न

✍️ आणि हा लेख उपयुक्त वाटला तर जरूर शेअर करा.

लेखक: Ganit Expert Hovuya 

            श्री.जे.एम.पाटील

📞 अधिक माहितीसाठी संपर्क:8329467192

📱 WhatsApp: 9405559874  

📌 स्पर्धा परीक्षांसाठी गणित मार्गदर्शन

अजून अशाच उपयुक्त माहितीकरिता भेट द्या

Ganit Expert Hovuya

https://ganitexperthovuya.blogspot.com

Post a Comment